月度归档:2017年06月

BZOJ 2301: [HAOI2011]Problem b & 1101: [POI2007]Zap(莫比乌斯反演+分块优化)

Description

对于给出的n个询问,每次求有多少个数对(x,y),满足a≤x≤b,c≤y≤d,且gcd(x,y) = k,gcd(x,y)函数为x和y的最大公约数。

 

Input

第一行一个整数n,接下来n行每行五个整数,分别表示a、b、c、d、k

 

Output

共n行,每行一个整数表示满足要求的数对(x,y)的个数

 

Sample Input

2

2 5 1 5 1

1 5 1 5 2

Sample Output

14

3

HINT

100%的数据满足:1≤n≤50000,1≤a≤b≤50000,1≤c≤d≤50000,1≤k≤50000

这两个题基本一样就放一块了。莫比乌斯反演的第一题,自己照着别人写的ppt也是推了好久。。。

设\(f(i,j,k)\)为\(1 \leq x \leq i,1 \leq y \leq j,gcd(x,y)=k\)的\((x,y)\)的对数。那么答案用容斥原理算一算就是\(ans=f(b,d,k)-f(a-1,d,k)-f(b,c-1,k)+f(a-1,c-1,k)\)。我们可以用\(a=a/k,b=b/k\)代换一下,那么我们现在求得也就是\(gcd(x,y)=1\)的对数。那么实质上我们要求的\(f(i,j,k)\)就是\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b} [gcd(x,y)=1]\)。考虑莫比乌斯函数\(\sum_{d|n} \mu(d)=[n=1]\),我们只需要替换一下,把所需要求的式子变成\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b} \sum_{d|gcd(x,y)}\mu(d)\)。令\(f(i)\)表示\(gcd(x,y)=i\)的\((x,y)\)的对数,\(F(i)\)表示\(i|gcd(x,y)\)的\((x,y)\)的对数。那么\(F(i)=[\frac{n}{i}]*[\frac{m}{i}]\)。而根据\(F(i)和f(i)\)的定义可知:\(F(i)=\sum_{i|d}f(d)\)。莫比乌斯反演一下\(f(i)=\sum_{i|d}\mu(\frac{d}{i})\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor\left \lfloor \frac{m}{d} \right \rfloor\)。这点就体现出了莫比乌斯反演的力量啦,我们可以很简单的求出\(F(i)\)来。但是这样的话复杂度并没有改变,但是之前做过一个余数之和的题目,形如\(\sum\left \lfloor n/i \right \rfloor\)这样的式子,其实我们不需要\(O(n)\)的求,因为不同的\(\left \lfloor n/i \right \rfloor\)的个数是\(Osqrt(n)\)级别的。这样的话\(\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor\left \lfloor \frac{m}{d} \right \rfloor\)是\(O(sqrt(n)+sqrt(m))\)级别的。注意不是相乘是相加的关系,类似于两条线段按照不同比例饿分隔段数,画个图就明白了。这样的话我们就可以维护一下莫比乌斯函数的前缀和就好了。每次对于一个\(\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor\left \lfloor \frac{m}{d} \right \rfloor\),我们确定出分界线,然后前缀和相乘计算答案即可。